ОПТИМИЗАЦИЯ ЧИСЛА ЗАПАСНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ СИСТЕМЫ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ КОМПЛЕКСОВ ПРИ ОДНОКРАТНОМ ЗАКАЗЕ

В процессе эксплуатации заменяют не­исправные или отказавшие блоки, приборы, отсеки и даже ЛА в це­лом. Для таких работ нужно иметь соответствующие запасные блоки, приборы, которые необходимо своевременно заказывать, размещать на складах, хранить, доставлять по заявкам к местам запросов с уче­том созданной системы ЛК — Для решения перечисленных вопросов обычно выделяют в системе эксплуатации группировки ЛК подсис­тему обеспечения запасами (СОЗ).

Анализ и синтез СОЗ предполагает решение ряда задач, среди ко­торых можно выделить следующие:

анализ перечня запасных элементов (детали, блоки, приборы, ле­тательные аппараты и т. д.);

установление состава комплектов запасных элементов, обеспе­чивающих восстановление или ремонт отдельного прибора, ЛА, ПУ;

периодичность и количество заказываемых промышленности за­пасных комплектов и элементов в процессе эксплуатации системы ЛК;

выбор структуры складов и размещение на них заказанных за­пасных комплектов и элементов;

своевременное перемещение имеющихся запасных комплектов и элементов между складами;

уровни запасов, при которых необходимы плановое пополнение, повторные заказы, срочное пополнение складов.

Перечисленные задачи неоднократно решались и описывались различными авторами f28, 56, 65]. Однако в целом проблема столь

многогранна и допускает такое различие в постановках задач и ис­пользуемом математическом аппарате, что остается до сих пор ак­туальной, а поиски оптимальной структуры и оптимального фун­кционирования СОЗ всегда приносят значительный экономический эффект, так как приводят к улучшению характеристик дорогостоя­щей системы эксплуатации обычно большой группировки ЛК-

Первая среди перечисленных задач выбора перечня запасных эле­ментов чаще всего решается качественным анализом технологии вос­становления или ремонта основных элементов и составных частей ЛК. Состав запасных элементов зависит от принятой диагностики неисправностей, потоков неисправностей или отказов, возможностей восстановления неисправных блоков непосредственно на ЛК или в ремонтных органах, структуры ремонтных органов, их мощностей и ряда других факторов. Представляет интерес разработка матема­тической модели и на ее основе количественный анализ оптимальной стратегии восстановления готовности ЛК — Уже на стадии разработки ТТ к создаваемому комплексу можно указать желаемую точность диагностики неисправности (например, до одной детали, узла, съем­ного блока или прибора, отсека ЛА, ЛА или пусковой установки в целом). С учетом возможностей диагностики, используемых ремонт­ных сил и средств, предполагаемых потоков неисправностей можно количественно определить целесообразный перечень запасных эле­ментов.

С перечисленными факторами связан выбор комплектности за­пасных элементов. Обычно различают запасные элементы, прида­ваемые непосредственно агрегату, прибору, системе. Такие элементы используются для замены отказавших или отслуживших установ­ленный срок (например, после очередного ТО). Среди таких элемен­тов чаще всего встречаются комплектующие элементы (предохра­нители, лампы, выключатели и т. п.).

Создаются комплекты запасных элементов для проведения тех­нического обслуживания ЛК, а также среднего и капитального ре­монта отдельных агрегатов. Такие комплекты размещаются на скла­дах летательных комплексов и в соответствующих ремонтных орга­нах.

Среди перечисленных выше центральной является задача опти­мизации периодичности и количества заказываемых запасных элемен­тов, так как от результатов ее решения зависят выбор структуры складов и планы их пополнения. Рассмотрим одну из возможных постановок такой задачи при изменяющихся характеристиках на­дежности ЛК с использованием полученных в § 5.8 результатов ми­нимизации риска принятия неверного решения.

Начнем с описания задачи. Полагаем, что установлен перечень запасных элементов и задачи определения периодичности и коли­чества заказа решаются независимо для каждого элемента. Следо­вательно, можно формулировать задачу применительно к одному про­извольному элементу из установленного перечня. Наибольший ин­терес представляет решение рассматриваемой задачи применительно к элементам ПУ, неисправности или отказы которых приводят к по­
тере или снижению их готовности. Поэтому считаем, что элемент входит в состав ПУ, причем в общем случае таких элементов k на одной ПУ (всего в систему ЛК входит N ПУ). Таким образом, в сис­теме ЛК функционирует kN рассматриваемых элементов.

Также известен переменный в процессе эксплуатации ноток не­исправностей или отказов данного элемента, определяемый парамет­ром потока отказов со(^), где t — текущее время эксплуатации. Из­менение параметра а(() вызвано причинами, которые подробно про­анализированы в § 4.1, а также учтены при решении задач в § 7.7 и 8.1.

Функция q(t) может быть задана как неслучайная, прогнозируе­мая на стадии разработки СОЗ, а может рассматриваться как статис-

л

тическая оценка <д(/). Сначала рассмотрим постановку задачи при известном неслучайном изменении по­тока неисправностей, а затем дополним задачу учетом случайности функции со(t). Полагаем, что параметр со(0 оп­ределяет только такие неисправности или отказы элемента, при которых по­требуется его замена, т. е. определяет поток заявок на этот элемент.

Оценим далее возможности заказов запасных элементов. Обычно промыш­ленность организует производство запасных элементов одновремен­но с созданием системы ЛК или в какие-то определенные пе­риоды, а затем эта продукция снимается с производства. В общем случае можно считать, что в течение срока Тэ эксплуатации ЛК, а следовательно, рассматриваемых элементов, существует q = 1, 2, …. I моментов, в которые может быть удовлетворена заявка на запасные элементы (рис. 8.1), а на интервалах xq пополнение запаса возможно лишь за счет значительно больших затрат средств, необходимых для неплановой организации производства. При этом затраты возрастают из-за использования неспециализированного оборудования, сверх­урочных работ, доставки авиационным транспортом вместо железно­дорожного и т. п. Кроме того, такое производство может обеспечить поставку запасных элементов только через некоторое время после заказа, что приведет к дополнительному времени пребывания дорого­стоящего ЛК" или ПУ в неработоспособном состоянии.

Обозначим через Ciq среднюю стоимость планового заказа од­ного элемента в момент q, включающую в себя затраты на производ­ство и доставку этого элемента на склад, а через C2q — среднюю стои­мость хранения и технического обслуживания одного элемента на складе в течение среднего времени его нахождения на складе за пе­риод xq. Средняя стоимость CiHq непланового заказа элемента на интервале Хд и средняя стоимость С„р д нахождения ПУ в неработо­способном состоянии из-за несвоевременной доставки непланово за­казанного элемента (отсутствие запасного элемента на складе) на интервале xq образуют средние затраты

C3q = ClHq + C, ipg. (8.52)

Если известно среднее время xlWq нахождения ПУ в неработо­способном состоянии из-за отсутствия запасного элемента на интер­вале эксплуатации хд, то

Сир q = Сл^нР q/T9, (8.53)

где Сдг — средняя стоимость разработки, производства и эксплуа­тации в течение Тэ лет одной ПУ в системе ЛК [см. (6.3)1.

Обозначим через X д случайную величину числа элементов, по- требующихся на интервале эксплуатации тд, а через пд — число эле­ментов, которые заказаны и к началу интервала тд находятся на складе.

Рассмотрим также, как это было сделано в § 5.8, функцию потерь C(Yg) как функцию случайного аргумента

Yq=Xq-nq. (8.54)

Из соображений, которые ниже будут разобраны подробнее, по­лучим сначала функцию С(К|) для первого интервала эксплуатации xt(q = 1). На рис. 8.2 представлен один из возможных графиков

этой функции. По смыслу случайная величина’-^ д принимает целочислен­ные значения в пределах (0, оо), по­этому в соответствии с (8.54) случай­ная величина Yд тоже целочислен­ная и лежит на интервале (—пд, оо).

Левая ветвь функции потерь пос­тоянна и отражает расходы на пла­новый заказ Пі элементов (СцПі), а также затраты на их хранение и техническое обслуживание (С2іПі) в течение срока Tj. Правая ветвь отра­жает линейное увеличение потерь за счет непланового заказа каждого элемента, дополнительно потребовав­шегося сверх запаса tit. Таким образом, функция потерь

Q/у) — { (^ii "Ь ^2i) ni ( nt с Ej с 0); [C3lYl (1<К1<0о).

Для того чтобы построить функцию риска, являющуюся математи­ческим ожиданием функции потерь, необходимо найти распределение случайной величины Yi или Xi.

Допустим, что на произвольном интервале хд поток заявок на элементы — нестационарный пуассоновский (см. табл. П.1, П.5 — П.7) с параметром

т<?

aq = j (о (/) dt (xq > 0), (8.56)

являющимся математическим ожиданием числа требующихся запас­ных элементов на интервале rq.

Тогда вероятность появления на интервале rq ровно nq заявок на элемент (табл. П.5)

аПЧ — а

вер (Xq = nq) = —2— е 9, (8.57)

flq I

а вероятность получения не более nq заявок (табл. П.6)

пд х

вер (Xq < nq) = е? . (8.58)

С учетом (8.55) — (8.58) для интервала Ті искомое математическое ожидание функции потерь, являющееся функцией риска, запишем в следующем виде:

пі х °° а*

пі(^п+^2і)^^ е 1 +С31 (х я*) —j-e.(8.59)

В зависимости (8.59) первый член определяет математическое ожи­дание потерь при удовлетворении заявок со склада, на котором на­ходятся Пі элементов, а второй — математическое ожидание затрат при неплановых заказах элементов сверх запаса nt.

е *+С;

Преобразуем (8.59) следующим образом:

Щ х 00 х

СЫ =nt (1 + С31) V е“01-С31п1+С31 У х-^-е-01. (8.61)

Х Х —

х=0 х=пг-

Заметим, что величина С31 является аналогом показателя А, вве­денного в § 5.8 и характеризующего степень несимметричности функ­ции потерь. Минимизируя функцию риска (8.61) с учетом (8.56),

л

можно найти оптимальную по критерию минимума риска величину nt. В этой задаче должны быть заданы следующие характеристики в ка­честве исходных данных:

to(0 и Т! или от; Ctl; C2i; С31.

Общее оптимальное число элементов, которое должно быть за­казано, для эксплуатации на интервале т4 N ПУ, каждая из которых содержит k таких элементов, составит

tiikN. (8.63)

Пример 8.2. Найти оптимальное по критерию минимума риска число запас­ных элементов, заказываемых на три года эксплуатации (Tj = 3 г) для системы, включающей в себя 200 ПУ (N = 200), каждая из которых содержит два таких элемента (k — 2). Известно, что а>(() = 1,7422 е •’■•я* года-1. Решить задачу при Саг = 10 и 100.

В соответствии с (8.56) находим з

О n QQ/

а1== 1,7422е * dt = 1,7422 о

—о. оз з —1—j _ g ооо. 1 0,03 J

В соответствии с (8.61) функция риска для случая, когда С31 = 10,

пх 15

С(nt) = 11и1 —- е-8 — 10л, + 10 х — уу е“».

х=0 х-=п,+1

Для случая, когда Сзх = 100,

5х

—— е 5.

X 1

x=0 х пл |-1

Л

Из табл. П.5 видно, что с точностью до четырех знаков 0 < пу < 15, а с учетом

Л

несимметричности функции потерь (рис. 8.2) можно ожидать, что пх > сц = 5,

Л

так как оптимальное значение п = 5 отвечает симметричным потерям. Следо­вательно, оптимальное значение п может быть целым числом от 6 до 15. Вычис­лим для этих значений nt величину целевой функции. Используя табл. П.5 и П.6, при ах = 5 рассчитаем значения сумм, входящих в первый и третий члены

функции С(/1|), а также значения целе­вой функции для случая, когда Cat/(Сп + С21) = С31 = 10 и 100. Ре­зультаты расчетов сведем в табл. 8.1. Получены оптимальные решения Л

(для первого случая лх — 7, а для вто-

Л

рого «х = 11) при математическом ожи­дании расхода элементов, равном пяти. Оптимальные решения соответствуют вероятности P(Xi > «j) = 0,8666 и 0,9945, а оптимальные запасы составят соответственно 140 и 220% от среднего расхода.

Общее количество запасных эле­ментов для системы ЛК в соответствии с (8.63) и исходными данными для

	Значения вычисляемых функций для различных величин пх
Вычисляемые функции	15	14	13	12	п
п1	0,9999	0,9998	0,9993	0,9980	0,9945
х = 0 15 у,51.-.	0	0,0030	0,0100	0,0209	0,0643
^ ХІ С (Hj) при СЯ1 = 10	14,9835	13,9095	12,9999	12,0050	10,9775
С (Пу) при С31 = 100	14,8485	14,0172	13,0809	12,2060	11,3195

Продолжение табл. 8.1 Значения вычисляемых функций для различных величин пх Вычисляемые функции ш 8 7 6 п У ^ /1 х 0,9863 0,9682 0,9319 0,8666 0,7622 х = 0 15 2 *1ге~6 0,1545 0,3355 0,6622 1,1846 1,9154 х = пг-1-1 С (и,) при CS1 = 10 10,0380 9,2068 8.6292 8,5642 9,4592 С (nt) при С31 = 100 11,6130 — — — —

двух вариантов функции потерь составит 7 • 2 • 200 = 2800 и 11 • 2 • 200= = 4400 шт. .

Из рассмотренного примера можно сделать важный для практики вывод: оптимальные запасы дешевых элементов, отсутствие которых приводит к потере работоспособности ЛК, должны быть большими, а дорогих элементов — меньшими. Следовательно, нерационально назначать одинаковые нормы запасов по отношению к ожидаемому расходу для разных по стоимости элементов. На рис. 8.3 показано для Сі = 5 изменение оптимального числа запасных элементов, про­нормированного относительно математического ожидания расхода л _

(nt/oi), в зависимости от степени С31 несимметричности функции ПО-

терь. Из графика видно, что объем оптимального запаса по отноше­нию к среднему расходу растет нелинейно и при достаточно больших С зі стабилизируется. Действительно, при любом С31 в данном случае

Л Л

«і не может быть больше 15, а следовательно, njai не превысит 3,0, т. е. 300%.